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UnitySpain - Colaboraciones

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Matemática Básica II : Vectores

davidlopezdev

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En la anterior entrada hablé sobre trigonometría, repasando las razones trigonométricas y viendo el teorema de pitágoras. Si no lo recuerdas o has llegado nuevo aquí, míralo antes de continuar (enlace debajo). 

Introducción

Si estás familiarizado con motores de videojuegos como Unity, conocerás el concepto de vector ya que se usa habitualmente. Pero ¿qué es realmente un Vector? Un vector básicamente es una flecha que apunta en una dirección y que tiene una longitud concreta:

M1L9VqzMRWDYZacxPEmeey6mwS9rDwH1h-GJfD4E

Esto sería un ejemplo de un vector y cualquier flecha apuntando en cualquier dirección sería otro ejemplo. 

Pero ¿cómo representamos esto? Para poder hacerlo tenemos que llevarnos nuestro vector a un sistema de coordenadas (x e y) y establecer el origen del vector en el centro del sistema. Por si no recuerdas que era un sistema de coordenadas, es una forma de visualizar un punto en el espacio. En este caso el espacio es 2D por lo que se representa con dos líneas, una horizontal (representado por el valor X) y otra vertical (representado por el valor Y) que se cruzan en un punto, llamado centro:

hs2dKwNHFZgymUppDNs-zDX6Y8yb8_8V5oqNN6Vx

Así quedaría nuestro vector anterior dentro de un espacio de coordenadas. Esto, por ejemplo, podría representar el movimiento de una nave en su proceso de despegue. Comienza en la posición (0,0) y sigue en la dirección del vector hasta llegar a su objetivo. Teniendo en cuenta que X es el valor horizontal e Y el valor vertical, el vector sería (2,1)

Pero ¿qué podemos hacer con esto? Como has visto puedes representar movimientos con ellos, por ejemplo. Pero para ver de forma práctica su uso vamos a usar Unity3D. Cualquier versión te servirá para este propósito puesto que solo vamos a tocar código básico. En mi caso usaré la versión 2020.1.  Si usas otro motor la teoría sigue siendo válida pero tendrás que buscar la forma de adaptarlo por tu cuenta. 

Unity internamente usa vectores para colocar un objeto dentro de la escena (realmente esto es incorrecto ya que usa una matriz, pero no nos adelantemos). Si vas al componente Transform (crea un gameobject nuevo si no tienes ninguno) te encontrarás con este Vector3 (un estructura propia de Unity) que contiene 3 valores:

XPHElPEFH1HNkSePMj1yk4jiQEmdmTKitKi6Niad

Estos son la posición en X,Y,Z. Pero ¿pero qué son estos valores? Pues al igual que la gráfica anterior nos indican que desde el centro del mundo hasta la posición de este objeto el vector es (0,0,0). 

Vamos a ver qué podemos hacer con esto. Para ello creamos un objeto de nombre Player y otro de nombre Target. Los colocamos en diferente posición y le asignamos diferentes iconos para poder diferenciarlos:

QeR1NhQLBA3iwqnT5NcWMqNSahb9ejUWHUMQlqkt

Recuerda que puedes cambiar el icono en la siguiente pestaña: 

ME56yK6_HW-JLdhJnBDdjRAf9kaUTLzmn0u6D7Bh

Una vez hecho esto vamos a crear un nuevo script de nombre Player y lo vamos a añadir al objecto Player. En este script vamos a añadir una variable Transform pública de nombre target y vamos arrastrar nuestro Target a través del inspector. Con esto tendremos acceso al vector de posición del Target desde nuestro Player. 

oUiZCg6fIuPQ5gX6wmzk7Z8NAhMxulnmeXc5sl7T
bm0pFzFLfM_WrU1_UDsI_dHgjEkA0hLLFaqEzvxh

Ya tenemos acceso a los dos vectores de posición, el del personaje y el del objetivo. Sabiendo esto ¿cómo hacemos que el personaje se mueva hacia el objetivo usando vectores? Pues aquí llega la parte interesante ya que si restas el vector de posición del objetivo con el vector de posición del personaje, el resultado es el vector necesario para llevar el player al objetivo. Veámoslo gráficamente creando la siguiente función: 

tZXYFBPSEAz2CLkMPYoe_3Q-JhmmBjI59X_Y7ro3

Si pulsamos play al añadir este código, veremos cómo el personaje se mueve hasta la posición del objetivo. 

Vale parece que se mueve, pero quiero más. ¿Que tal si medimos la distancia que hay entre uno y otro antes de moverlo? Para esto vamos a recordar la trigonometría que aprendimos en la parte anterior.

 

Magnitud

La magnitud de un vector es la distancia que hay entre dos puntos. En nuestro caso sería la posición del personaje y nuestro objetivo. Para calcularla solo tenemos que aplicar la fórmula de la distancia. Esta fórmula es simplemente el teorema de pitágoras disfrazado, y lo vamos a ver en la siguiente imagen: 

4EvFvJN7k8Vzy-20U0EcbYyI2KYta2tXnVncQva8

Como puedes ver, nosotros lo que queremos calcular es la distancia (h) por lo que podemos convertirlo en un triángulo añadiendo X e Y. Ahora solo tenemos que usar pitágoras para despejar h. ¿Lo recuerdas?

image.png

Vamos a resolverlo en código. Para ello vamos a crear una clase estática nueva llamada BasicMath donde vamos a ir añadiendo nuestras funciones matemáticas a partir de ahora. 

FbYY9o1UhilgTDmS8rGclats0iNNgOcuU-qryeDB

Seguiremos usando Mathf (Unity) o Math (System) para realizar las operaciones básicas que se salen del objetivo de este tutorial. Mencionar que todos los cálculos e igualdades que haremos aquí serán basados en 2 dimensiones. Una vez se han entendido correctamente los cálculos, solo hay añadir la componente z. 

Esta sería nuestra implementación del teorema de pitágoras. Para ver la distancia simplemente podemos añadir un log en nuestra función MoveToTarget:

ldqOdhJPDew-vNt6v9dzhnjkRPDLnvdBqKMhCPkv

Si estás familiarizado con Unity ya sabrás que por defecto nos soluciona todos los problemas de vectores con su estructura Vector. Podemos acceder directamente a la magnitud de un vector desde dentro del mismo de la siguiente forma: 

3-d7fYSFp7eb6GAWfYaC3P4VTcnHtWYvoRWU9N8n

Como puedes ver, ambos resultados son iguales, aunque nuestra implementación es menos óptima que la que usa internamente Unity. Por lo que esta clase BasicMath y todo lo que contenga es únicamente para uso educativo. 

La magnitud tiene un pequeño problema y es que hacer una raiz cuadrada es algo costoso a nivel computacional. Por eso habitualmente se usa el valor antes de pasar por la raiz cuadrada. Seguirás teniendo un valor que representa la distancia pero será más eficiente. 

Podemos crear esta implementación de la siguiente forma y equivale al SqrMagnitud de la clase Vector:

scQ6-vUAISMlJpHrCdssSjS2ziguBkENBx45InGv
rHuVSxvRuym9h8zt9F3Ef8X4ZU0OYE6aj2QIrQtw

Esto es genial, tenemos al personaje moviéndose al target y conocemos su distancia hasta él. Pero no queremos que el player avance directamente hacia el objetivo, sino que lo haga poco a poco a la velocidad que nosotros queramos. Para esto vamos a necesitar normalizar nuestro vector.

 

Normalización

Normalizar un vector es cambiar su longitud a 1, manteniendo su dirección. En nuestro caso de ejemplo, el vector “dir” que tenemos. Al cambiar su longitud a 1 podemos controlar la velocidad de movimiento mediante un valor multiplicador. ¿Cómo calculamos el vector normalizado (no confundir con el Vector normal)? Dividiendo el vector por su magnitud:

image-1.png

Podemos implementar rápidamente esto en nuestra clase BasicMath:

aw8LluoZkWsOSOIsN-qqc0zq081MIqLnhMs-94fe

Podemos ver que equivale al valor normalized de la clase Vector:

3Nime0QWw9F_u5piUM-GraW7HiNJfinwrg8gF3BW

Una vez tenemos el valor normalizado, podemos multiplicarlo por un valor y hacer que el personaje se mueva en función del tiempo:

7Snu2CpuYttF3G0DfWpbDGHYmWKtW77q-opjAUX8

Vamos a tener que pasar nuestra normalización a Vector3 ya que estamos trabajando en dos dimensiones y la posición añade la Z (aunque como este caso sea 0). Si modificamos el valor speed podremos hacer que el personaje cambie su velocidad al moverse a través del vector. 

YjBfutvJFLIUgoIrUN5LwVDpKU4Kw7-LVfvT24gt

Antes de continuar me gustaría darte otra forma de mover un vector de un punto a otro. Pero en lugar de basado en la velocidad, basado en un valor comprendido entre 0 y 1. Cuando el personaje está en su posición inicial, el valor es 0 y cuando llega a su objetivo es 1. 

Esto es llamado interpolación (Lerp). 

 

Interpolación

Para interpolar un vector simplemente vamos a sumarle al vector inicial, el vector de dirección al objetivo por un valor t (comprendido en 0 y 1). Veámoslo en código: 

l0BqolIglJ_FCbCbCPR_GyzJin9dTIyE_IZd1G0m

La primera línea limita la t entre 0 y 1. La segunda simplemente suma al vector de origen, el vector dirección multiplicado por t. Si la t es cero devolverá el valor “a” y si es 1 devolverá el valor “b”.  Con el siguiente código podremos probar esta funcionalidad nueva:

LjjH8PN5k2uWl02CLbyJH4NXULog7Tn67aIaNgiL

Tenemos que crear un valor t (el atributo Range nos ayudará a limitarlo entre 0 y 1) y un Vector3 que guarde la posición inicial. Esto es necesario porque si le pasamos la posición actual al Lerp los resultados se irán actualizando al ir moviéndose y el resultado no será el que buscamos. Comentamos la anterior MoveToTarget y añadimos la nueva en la función Update. De esta forma si pulsamos Play tendremos un valor t en el inspector que si vamos moviendo entre 0 y 1 hará que nuestro player se desplace más o menos cerca del target. 

qD3L-vY53LpHckiBiWKyNMf_W5_CjN5xpjitUJno

Hay otros tipos de interpolación que veremos en el apartado de Funciones en próximas partes de este tutorial. 

Una vez tenemos esto, vamos a pasar con una de las operaciones con vectores más importante. 

Producto Escalar

El producto escalar (dot) es una operación entre dos vectores que nos devuelve un valor. Este valor nos da información muy útil sobre estos dos vectores:

  • Si este valor es cero: el ángulo entre los dos vectores es 90 grados por lo que son totalmente perpendiculares. 
  • Si este valor es negativo: el ángulo es mayor a 90 grados. Cuanto menor sea este valor, mayor será el ángulo. 
  • Si este valor es positivo: el ángulo es menor que 90 grados. Cuanto mayor sea este valor menor será el ángulo. 

Aquí puedes experimentar visualmente con estos conceptos:

https://www.fisicalab.com/apartado/producto-escalar

La fórmula del producto escalar, siendo “a” y “b” dos vectores, es la siguiente: 

dot = ax * bx + ay * by

Ya conocido el concepto vamos a practicar con él. Primero lo añadimos la función a nuestro BasicMath. 

0Jly3a9bmx9YhtwjfoUTtsq97yK4_hnv5O3YGL34

Ahora añadimos la función Dot de testeo con lo siguiente:

vcOkgvZZe--8LeJxdcxnXZRRosx1uK-GstY4WXRC

Esto calculará el producto escalar entre el vector del personaje y el vector de dirección. Como ves hemos utilizado el transform.up en lugar de la posición. Este valor indica la dirección del vector hacia arriba teniendo como referencia el tranform. Ya conocerás estos vectores si estás habituado a trabajar con Unity. Podemos verlos mejor aquí:

30amAujwZwTfPCw_H_cn1YhJDqJRlEbXnURGt_No

Si usamos estos vectores a la hora de calcular el producto escalar, los resultados serán en función a la dirección y no en función de la posición. El vector de posición no nos indica hacia donde está apuntando, sino su posición con respecto al centro del mundo. Una posición por ejemplo de (3,4,0) no nos es útil para calcular el producto escalar, sin embargo el vector.up (0,1,0) sí, ya que es una dirección en este caso hacia arriba.

También hemos normalizado los dos vectores antes del dot para que sea más fácil trabajar con el resultado. Activamos esta función en Update, comentando lo demás (puedes dejar el MoveToTarget si quieres). 

V3AzenPvHoeA47hPtOj_pLccskaSSnKdiAyDnFwz

Si damos Play podemos ir moviendo el target y ver como va cambiando el producto escalar. 

AVz1IQI4OCmIYxOrApCNVbBtLPXAcbj-hX0LNvP6

Pero ¿de qué sirve conocer este valor?. Pues anteriormente vimos que este valor nos da información muy relacionada con los ángulos. De hecho podemos calcular el ángulo entre dos vectores conociendo los productos escalares.

 

Ángulo

Para calcular el ángulo tenemos la siguiente fórmula,siendo “a” y “b” vectores:

θ = arcocoseno (dot(a, b))

Vamos a añadir esto a nuestro BasicMath. Este resultado estará en radianes por lo que crearemos dos funciones, una en radianes y otra que convierta el resultado a grados. 

RYfpMZ2DeB5qQ7h2blFWdNJFqmPRaDU_yHgInjAQ

Hemos normalizado ambos vectores antes de hacer el Dot. De esta forma lo hará desde dentro y podremos pasarle el vector sin normalizar. El valor Rad2Deg es el factor de conversión de radianes a grados que es 180 . Esto es un valor constante:

cfYEuh57KHsZnDJVA8nGcoSRelZNls0OZCHe4hhW

No es necesario que añadas tanta precisión, puedes coger los decimales que quieras para este fin. Creamos ahora nuestra función Angle en el Player (puedes sustituir la función Dot ya que no la volveremos a usar). 

8bZmI3U8c6dc0RwDHMkfFvCHw73BskEkR1prafxa

Volvemos a usar el Vector.up y añadimos la función al Update para verla. Para visualizar mejor el ángulo, voy a añadir en el OnDrawGizmos el siguiente código.

68yokUoxLf4mqalto6aSe3fk_H-hbucrqpJRRWKW

Esto crea dos líneas que simular el comportamiento de los vectores. Si damos al play podremos ver dos líneas que forman un triangulo, el angulo entre las dos es el que nos está mostrando por consola:

a1SstPX-BAAogpsi6JIHBIoxA6knwEu17qe-S56a

Con este valor de ángulos podrías, por ejemplo, rotar al personaje para que siempre mire al target con la función transform.Rotate. 

Con esto llegamos al final de esta entrada sobre vectores. Ha sido algo básico pero que sirve como punto de partida si quieres profundizar por ti mismo. Como he comentado estos cálculos son teniendo en cuenta solo 2 dimensiones. Te animo a que realices los cálculos añadiendo a las fórmulas una dimensión más. 

Podéis encontrar el código del proyecto aquí

Recuerdo que no soy matemático y que los cálculos que aquí he realizado pueden contener errores o no ser del todo precisos. Cualquier duda o anotación siéntete libre de contactar conmigo. Nos vemos en la siguiente entrada.



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